Les sources d’erreur communes sont légions. Il s’agit de les identifier. Quelques sources possibles sont listées dans la Table 1.
| Paramètre | Description | Parade |
|---|---|---|
| Offset | Lorsque la mesurande est null, l’offset apparaît comme une valeur non nulle à la sortie | Il peut être mesurés avant d’appliquer la mesurande et soustrait aux mesures |
| Précision | La précision donnée d’un capteur comprend toutes les erreurs | Choisir le capteur approprié |
| Erreur de linéarité | Cette erreur caractérise la relation entre la mesurande et la sortie, soit le gain | On peut calibrer l’appareil avec une mesurande connue |
| Stabilité | La stabilité représente la plage dans laquelle la sortie varie pour une même mesurande | Cette variation est liée à des facteurs d’influence ou au bruit de mesure. On peut prendre plusieurs mesures pour calculer une moyenne |
| Répétabilité | La répétabilité est la différence de sortie pour une même mesurande appliquée à plusieurs reprises | La procédure de mesure peut améliorer la répétabilité (on effectue les mesures toujours de la même façon) |
| Environnement | Les conditions de l’environnement (température) peuvent influencer la mesure | Contrôler l’environnement |
| Chaine d’acquisition | La sortie du capteur est mesurée par un appareil (un voltmètre par exemple) | La précision du système doit être adaptée. |
Le principe utilisé pour la mesure n’a pas toujours une caractéristique linéaire. Ceci doit être compensé par l’instrument.
\[ Y_{capteur} = a x^2 \implies Y_{sortie} = b \sqrt{Y_{Capteur}} \implies Y_{sortie} = b \sqrt{a} \cdot x \qquad(1)\]
La correction n’est jamais parfaite, elle peut demander des calibrations. Un appareil peut utiliser un polynôme du genre de Equation 2.
\[ T = T_0 \cdot \left( a0+a1*R+a2*R^2 \right) \qquad(2)\]
Les paramètres \(a_i\) doivent être identifiés précisément pour minimiser l’erreur. Si une influence n’est pas modélisée, une erreur va apparaître. On aura une erreur de linéarité.
L’offset et le gain influencent la caractéristique comme le montre la Figure 2
Les grandeurs interférentes sont des grandeurs qui s’ajoutent à la mesure. En analysant la structure d’un capteur et en comprenant comment il fonctionne, on peut détecter les interférences possibles.
Exemple du pont de Wheatstone. La grandeur mesurée \(U\) sera affectée de façon…
\[ \begin{align} R_{jauge}=R_0 + \Delta R \\ \sigma = \epsilon \cdot E \left[ \frac{N}{m^2} \right], \quad \Delta R = K \cdot R_0 \cdot \epsilon \left[\Omega \right] \\ \epsilon = \frac{dL}{L} \approx \frac{\Delta L}{L} [1], \quad U \cong - \frac{K \epsilon}{4} U_0 \left[V \right] \end{align} \]
Note
Exemple de développemenet dans le notebook jupyter python/dev_2.1_erreur-add-mult.ipynb
Les sources d’erreurs possibles d’un capteur sont illustrées sur la Figure 5
Figure 5: Différentes erreurs de mesures
Pendant son fonctionnement, un appareil peut voir varier sa caractéristique changer, par exemple à cause de son échauffement.
Figure 6: Dérive due à l’échauffement
On peut qualifier un instrument selon sa justesse et sa fidélité. Un instrument juste et fidèle est précis.
| Fidélité | Les mesures se ressemblent mais ne sont pas forcément justes |
| Justesse | Les mesures sont précises |
| Précision | Les mesures sont justes et fidèles |
On a les combinaisons possibles d’une erreur absolue \(E_X=X-X_0\) et d’une erreur relative \(\epsilon_X=E_X/X_0\).
Spécification de précision d’instruments de mesure :
Exemple de classe de précision
Les distributions d’erreur suivent très souvent une courbe de Gauss. L’équation est donnée par :
\[ g(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}} \]
La Figure 9 montre quelques traces pour les valeurs données dans le tableau.
| Couleur | \(\mu\) | \(\sigma\) |
|---|---|---|
| bleu | 0.5 | 0.1 |
| vert | 0.7 | 0.3 |
| magenta | 0.8 | 0.05 |
Note
La distribution de Gauss est un modèle qui est souvent approximativement correct.
La plage des valeurs de mesure de la fonction de Gauss est théoriquement infinie.
En technique, nous travaillons souvent avec une plage de ±3σ autour de μ.
Elle n’est pas la seule distribution qui existe, mais elle permet des calculs analytiques simples.
Note
Plusieurs personnes mesurent une longeur avec un double-mètre.
Exemple de données sur la précision d’un capteur de pression
| Paramètre | Echelle | Graphique |
|---|---|---|
| Accuracy | %FS | NL |
| Zero Thermal error | %FS | offset |
| FS thermal error | %FS | gain(Température) |
| Stability | %FS | gain(temps) |
Important
FS tient pour Full Scale. L’erreur est dépendante de la plage maximum du capteur. Si on utilise un capteur sur une plage réduite, cette erreur devient importante.
Spécification du HP 3458, multimètre de précision
Spécification pour la mesure de tension
Une grandeur qu’on veut mesurer de façon indirecte dépend souvent de plusieurs autres grandeurs. On a alors un système multivariables. On peut écrire une formulation générale avec la notation matricielle :
\[ \begin{align} Y=f(\mathbf X), \mathbf X=[x_1, x_2,..., x_n] \end{align} \]
Exemples
L’erreur d’un système composé de plusieurs variables peut se calculer selon les opérations effectuées sur le signal.
| Opération | Erreurs | Calcul |
|---|---|---|
| \(C=A + B\) | \(E_A, E_B, E_C\) | \[ \begin{align} C + E_C=A \pm E_A+B \pm E_B= C \pm (E_A+E_B) \\ \implies E_C=E_A+E_B \end{align} \] |
| \(C=A - B\) | \(E_A, E_B, E_C\) | \[ \begin{align} C + E_C=A \pm E_A-(B \pm E_B)= C \pm (E_A+E_B) \\ \implies E_C=E_A+E_B \end{align} \] |
| \(C = A \cdot B\) | \[ \begin{align} \epsilon_A=\frac{E_A}{A}, \epsilon_B=\frac{E_B}{B}, \\ \epsilon_C=\frac{E_C}{C} \end{align} \] | \[ \begin{align} C+E_C = (A+E_A) \cdot (B+E_B) = A(1+\epsilon_A) \cdot B(1+\epsilon_B) = \\ (A \cdot B)(1 + \epsilon_A + \epsilon_B + \epsilon_A \epsilon_B) \cong C \cdot (1+\epsilon_A + \epsilon_B) \\ \implies E_C = C \cdot (\epsilon_A + \epsilon_B) \end{align} \] |
| \(C = A / B\) | \[ \begin{align} \epsilon_A=\frac{E_A}{A}, \epsilon_B=\frac{E_B}{B}, \\ \epsilon_C=\frac{E_C}{C} \end{align}\] | \[ \begin{align} C+E_C = (A+E_A)/(B+E_B) = \\ \frac{A}{B}\frac{1+\epsilon_A}{1+\epsilon_B} = \frac{A}{B}\frac{(1 + \epsilon_A) \cdot (1+\epsilon_B)}{1-\epsilon_B^2} \cong C(1+\epsilon_A + \epsilon_B) \\ \implies E_C = C \cdot (\epsilon_A + \epsilon_B) \end{align} \] |
Les erreurs étant petites, on peut linéariser autour des valeurs nominales.
Pour une fonction \(Y=F(X_1, X_2,... X_N)=Y(\mathbf X)\), on peut écrire :
\[ \begin{align} Y(\mathbf X)= \\ Y(\mathbf X_0) + \left\{ \left|\frac{\partial Y}{\partial X_1} \bigg \rvert_{\mathbf X_0} \cdot E_{X1} \right |+ \left|\frac{\partial Y}{\partial X_2} \bigg \rvert_{\mathbf X_0} \cdot E_{X2}\right | + ... + \left|\frac{\partial Y}{\partial X_N} \bigg \rvert_{\mathbf X_0} \cdot E_{X_N} \right | \right\} \\ = Y_0 \pm E_Y \end{align} \]
Exercices feuille séparée (cyberlearn)
Les calculs sont proposés dans le document ex_3.2_erreur_diviseur_resistif_sol.ipynb
Dérive
Un instrument fournit une mesure. La mise en forme de la mesure effectue une amplification qui est assurée par un amplificateur opérationel, dont le gain est défini par 2 résistances :
\[ g=R2/R1 \]
Les résistances voient leur valeur changer avec la température selon la relation : \[ R_{temp} = R_{nom}(1 + α \cdot (T-T_a)), \text{ $R_{nom}$ est la valeur à température ambiante $T_a$} \]
Une fois mis en marche, l’appareil chauffe pour atteindre très lentement une température de fonctionnement \(T_f\).
Quelle sera la valeur du gain une fois que l’appareil a chauffé si les 2 résistances on le même coefficient \(\alpha\) de 100ppm ?
Après une réparation, la résistance R1 est remplacée par une résistance de précision qui n’est pas influencée par la température (coefficient \(\alpha\) très bas). Quelle sera la valeur du gain après l’échauffement ?
cf document “résistance Vishay.pdf”
Instrumentation 2025-2026